Định nghĩa

Cho hai điểm F1 và F2 cố định với F1F2 = 2c (c > 0).

Đường ellipse (còn gọi là ellipse hay oval) la tập hợp các điểm M sao cho MF1 + MF2 = 2a, trong đó a là số cho trước lớn hơn c.

Hai điểm F1 và F2 là các tiêu điểm của Ellipse. Khoảng cách 2c gọi là tiêu cự của Ellipse.

Cách vẽ

Vẽ bằng dây.

- Đóng đinh lên mặt phẳng tại hai điểm F1 và F2.

- Lấy một vòng dây kín không đàn hồi, có độ dài lớn hơn hai lần khoảng cách F1F2. Quàng sợi dây vào hai chiếc đinh, đặt đầu bút chì vào trong vòng dây rồi căng ra để vòng dây trở thành hình tam giác. Di chuyển đầu bút chì sao cho dây luôn căng và áp sát mặt gỗ. Khi đó đầu bút chì sẽ vạch ra một đường mà ta gọi là đường ellipse.

Phương trình chính tắc đường Ellipse:

Cho hình elip (E) như trong định nghĩa trên. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm đoạn thằng F1F2. Trục Oy là đường trung trực của F1F2 và F2 nằm trên tia Ox.

Giả sử điểm M(x; y) nằm trên elipse (E). Tính MF21 - MF22 rồi sử dụng định nghĩa MF1 + MF2 để tính MF1 - MF2. Từ đó suy ra:

MF1 = a + c x a {\displaystyle {\frac {cx}{a}}} và MF2 = a - c x a {\displaystyle {\frac {cx}{a}}} .

Các đoạn thẳng MF1, MF2 được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M.

Bây giờ ta lập phương trình của elip (E) đối với hệ trục tọa độ đã chọn như trên.

Ta có:

MF1 = a + c x a {\displaystyle {\frac {cx}{a}}} = ( x + c ) 2 + y 2 {\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}} hay ( a + c x a ) 2 = ( x + c ) 2 + y 2 {\displaystyle (a+{\frac {cx}{a}})^{2}=(x+c)^{2}+y^{2}} .

Rút gọn đẳng thức trên ta được (1 - c 2 a 2 {\displaystyle {\frac {c^{2}}{a^{2}}}} ) x 2 + y 2 = a 2 − c 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}-c^{2}} , hay x 2 a 2 + y 2 a 2 − c 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1} . Vì a2 - c2 > 0 nên ta có thể đặt a2 - c2 = b2 (với b > 0) và được phương trình chính tắc của elip đã cho:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} (với a > b > 0).

Ngược lại ta có thể chứng minh rằng: Nếu điểm M có tọa độ (x; y) thỏa mãn phương trình trên thì

MF1 = a + c x a {\displaystyle {\frac {cx}{a}}} và MF2 = a - c x a {\displaystyle {\frac {cx}{a}}} do đó MF1 + MF2 = 2a, tức là M thuộc elip (E).